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本章介绍了一些概率的基本概念与条件概率。

独立与互斥

Two events are called uncorrelated (or independent)（独立）if they have no bearing on each other.

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Two events are called mutually exclusive（互斥） if both events cannot simultaneously occur.

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

概率中的容斥原理

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(A \cap B) \]

条件概率（Conditional Probability）

Example 三门问题（Monty Hall problem）：

1. \(A,B,C\) 三个盒子中有且仅有一个有奖品。
2. 你选择了 \(C\) 但此时还不知道 \(C\) 中是否有奖品。
3. 主持人查看了 \(A,B\) 两个盒子内是否有奖品，并宣布 \(A\) 中没有奖品。
4. 此时你应该保持 \(C\) 这个选择还是更换为 \(B\)？

Solution

应更换为 \(B\)。

若 \(C\) 是有奖品的（概率为 \(\dfrac 1 3\)），则换了拿不到奖品。

若 \(B\) 是有奖品的（概率为 \(1 - \dfrac 1 3 = \dfrac 2 3\)），则换了能拿到奖品。

因此换 \(B\) 拿到奖品的概率为 \(\dfrac 2 3\)。

This is an example of conditional probability, in which we are given some known facts in addition to the basic problem.

在 \(B\) 发生的情况下，\(A\) 发生的概率记为 \(P(A|B)\)。

\[P(A|B) = \dfrac {P(A \cap B)} {P(B)} \]

可推导出贝叶斯公式（Bayes' theorem）：

\[P(A|B) P(B) = P(A \cap B) = P(B|A) P(A) \]

\[P(A|B) = \dfrac {P(A) P(B|A)} {P(B)} \]

课后习题

No. 323

Problem

Three numbers are chosen at random between \(0\) and \(1\). What is the probability that the difference between the greatest and the least is less than \(\frac 1 3\)?

My Solution（暴力）

几何概型，直接做三维可以但是图非常乱，还要算锥形体积之类的东西。考虑只考虑二维问题然后用积分搞掉剩下一维。

不妨设抽到的三个数为 \(a,b,c\)，其中 \(a \le b \le c\)。

"枚举" \(b\)，根据几何概型分析（此处省略一大堆小学数学）：

\[f(b) = \begin{cases} - \frac 1 2 b^2 + \frac 1 3 b & 0 \le b < \frac 1 3 \\ \frac 1 {18} & \frac 1 3 \le b < \frac 2 3 \\ - \frac 1 2 b^2 + \frac 2 3 b - \frac 1 3 & \frac 2 3 \le b \le 1 \end{cases}\]

\[\begin{aligned} & \int_0^1 f(x) \mathrm dx \\ =& \frac 1 {81} + \dfrac 1 {54} + \frac 1 {81} \\ =& \frac 7 {162} \end{aligned}\]

保证 \(a \le b \le c\) 的区域的体积：

\[\begin{aligned} & \int_0^1 x (1-x) \mathrm dx \\ =& \frac 1 6 \end{aligned}\]

相除得 \(\boxed{\dfrac 7 {27}}\)。

Solution from StackExchange（链接）

（忽略等号）

• 令事件 \(A\) 为三个数都大于 \(\dfrac 2 3\)。
• 令事件 \(B\) 为最小的数小于 \(\dfrac 2 3\)。
• 令事件 \(C\) 为最小的数与其它两数差在 \(\dfrac 1 3\) 以内。

答案即为 \(P(A) + 3 P(B \cap C)\)。显然 \(P(A) = \dfrac 1 {27}\)。

\[P(B \cap C) = P(C|B) \times P(B) = \dfrac 1 9 \times \dfrac 2 3 = \dfrac 2 {27} \]

答案为 \(\boxed{\dfrac 7 {27}}\)。

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From： https://www.cnblogs.com/AugustLight/p/-/AoPS-Vol2-Chapter-19