问题:
我们如何构造一个序列，使他的极限为\(\sqrt{2}\)？
让我们从一个根号二的近似 s 开始。
\(s\times\frac{2}{s}=2\)
因此，\(\sqrt2\) 在 s 和 \(\frac{2}{s}\) 之间。
故而，一个更好的近似是他们的算数平均值
new approximation = \(\frac{s+\frac{2}{s}}{2}\)
由几何平均数小于等于算数平均数，故而
\(\sqrt2=\sqrt{s \times \frac{2}{s}} < \frac{s+\frac{2}{s}}{2}\)
我们生成一个序列\(s_{n+1}=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}\)
则
\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}-\sqrt2 \tag1 \]\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{1}{2s_n}\times(s_{n}^2+2-2_sn\sqrt2) \tag2 \]\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{1}{2s_n}\times(s_{n}-\sqrt2)^2 \tag3 \]\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{1}{2}(s_{n}-\sqrt2)\frac{(s_n-\sqrt2)}{s_n} \tag4 \]又
\[\frac{(s_n-\sqrt2)}{s_n} <1 \]故而
\[0<s_{n+1}-\sqrt2 < \frac{1}{2}(s_{n}-\sqrt2) \tag5 \]\[0<s_{n+1}-\sqrt2 < \frac{1}{2^2}(s_{n-1}-\sqrt2) \tag5 \\... \\0<s_{n+1}-\sqrt2 < \frac{1}{2^n}(s_{1}-\sqrt2) \]\[则 \lim_{n \to \infty} s_{n+1}-\sqrt2=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}(s_{1}-\sqrt2)=0 \]故而
\[\lim_{n \to \infty} s_{n}=\sqrt2 \]因此所求序列就是\(s_{n+1}=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}\)
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