高等数学-求极限

标签：泰勒洛必达函数无穷小极限公式高等数学

一.基本概念

1.无穷小

$limf(x),x\rightarrow 0,limf(x)=0$ ,就称f(x)是x趋近于零的无穷小量。

2.无穷小的性质

1.函数有极限的充要条件是函数可以写成一个常数和一个等价无穷小之和，即

$\lim f(x)=A\Leftrightarrow A+\alpha (x),$ 其中 $\alpha \left ( x \right )$ 为该极限过程中的无穷小。

2.有限个无穷小的和（差积）仍是无穷小。

3.有界量（ $\sin x \cos x$ ）与无穷小的乘积仍是无穷小.

3.高阶无穷小的运算法则

设n m 为正整数，则有

（1）低价吸高阶： $\alpha \left ( x^{n} \right )\pm \alpha \left ( x^{m} \right )=\alpha \left ( x^{l} \right ),l=min[m.n]$

(2) 乘法的叠加： $x^{m}\cdot \alpha \left ( x^{n} \right )= \alpha \left ( x^{m+n} \right )$

(3) 非零常数不影响阶数： $\alpha \left ( x^{m} \right )=\alpha \left ( kx^{m} \right )=k\alpha \left ( x^{m} \right ) k\neq 0$

4.常见函数的极限

$x\rightarrow +\infty , e^{x}\rightarrow +\infty ,\arctan x\rightarrow \frac{\pi }{2}$

$x\rightarrow -\infty ,e^{x}\rightarrow0,\arctan x\rightarrow-\frac{\pi }{2}$

$\lim\frac{\sin x}{x}=1,x\rightarrow0$ $\lim\frac{\sin x}{x}\rightarrow1$ $\lim\frac{\sin x}{x},x\rightarrow \infty ,lim\frac{\sin x}{x}=0$

二.极限的常见求法

求极限有常见的七种未定型（用0表示无穷小量， $\infty$ 表示无穷大量，1表示极限为1的变量）则有 $\frac{0}{0} \frac{\infty }{\infty } \left ( 0\cdot \infty \right )\left ( \infty -\infty \right )1^{\infty }0^{\infty }\infty ^{0}$ ，其中两种分式型最为常见，通常其他类型的未定式都可以化简为上述两种为定式来求解。求极限通常先判断类型，适当化简，应用对应的方式求解。

1.直接代入法和两个重要极限

( $\lim \frac{\sin x}{x}=1 ,x\rightarrow0,$ $\lim (1+x)^{\frac{1}{x}}=e,x\rightarrow0/\infty$ .)

2. $\frac{0}{0}$ （洛必达，等价无穷小，泰勒展开，中值定理）

（1）洛必达（对于易求导的分式，求导直到能够带入为止）

注意事项 a.如果使用洛必达后极限不存在且不为无穷大，则不能推出原极限不存在，只能说明洛必达失效。

b.检查分子分母可导性，以及导后比值的存在性，才考虑是否用洛必达

(2) $\frac{\infty }{\infty }$ 的常见方法（洛必达无穷大抓大头）

无穷大的速度总结： $x\rightarrow +\infty \ln^{a}x(a>0)=x^{b}(b>0)=a^{x}=x^{x}$

两大技巧：a. $\ln f(x)$ 通常 $\ln\left [ 1+f(x)-1 \right ] \rightarrow \ln f(x)\sim f(x)-1$

b.对于 $e^{f(x)}-e^{g(x)}$ 经常用提取公因式处理 $e^{f(x)}-e^{g(x)}$ = $e^{g(x)}-\left [ e^{f(x)-g(x)}-1 \right ]$ ,则有 $e^{f(x)}-e^{g(x)}\sim e^{g(x)}(f(x)-g(x))$

（2）等价无穷小

（ $f\left ( x \right )\pm g\left ( x \right )$ 不可用）( $x\rightarrow 0$ $f(x)\rightarrow 0$ )

常见的等价无穷小： $\sin x\sim x$ $\arcsin x\sim x$ $\tan x\sim x$ $\arctan x\sim x$

$e^{x}\sim x+1$ $1-\cos x=\frac{1}{2}x^{2}$ $\ln (x+1)\sim x$ $\left ( 1+x \right )^{a}\sim 1+ax$

推出： $\sin f(x)\sim f(x)$ $e^{f(x)}\sim f(x)+1$ ............

注： $lim\frac{\tan x-x}{x^{2}sinx}$ $\neq$ 0 ( $\tan x-x\sim \frac{1}{3}x^{3}$ )(带皮亚诺余项的泰勒公式）

$\lim \frac{sinx^{n}}{(sinx)^{m}} =lim\frac{x^{n}}{x^{m}}=limx^{n-m}$ , $x\rightarrow 0$ ,

n>m	m=n	n<m
0	1	$\infty$

(3)泰勒公式

基本公式（泰勒公式（Taylor's Formula）是数学分析中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近展开为无穷级数（泰勒级数）或有限项加上一个余项的形式。泰勒公式在近似计算、极限求解、微分方程求解等领域有广泛应用。

注:泰勒级数不一定对所有 x 都收敛。例如，ln⁡(1+x) 的泰勒级数仅在 ∣x∣<1 时收敛。

$sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})$

$cosx=1-\frac{1}{2!^{}}x^2+o(x^2)$

$\arcsin x=x+\frac{1}{6}x^3+o(x)$

$\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+o(x)$

$\arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$

$\ln (x+1)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$

$e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$

$(x+1)^a=1+ax+\frac{a(1+a))}{2}x^2$ +o(x^2)

公式变形（ $x\rightarrow 0$ )

$x-sinx\sim \frac{1}{6}x^3$ $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}x^3$ $x-\ln (x+1)\sim \frac{1}{2}x^2$ 等

泰勒公式的变形依据题目而定，可以任意两结合，例如 $sinx+arcsinx=2x$ 等

推广： $\tan f(x)-f(x)\sim \frac{1}{3}f^{3}(x)$ $f(x)\rightarrow 0$ (未整理完全）

两个原则：上下阶数一致/抵消不了

(4) $\infty -\infty$ 特殊的未定型。

常用方法有通分（含分式加减法）.分子有理化（含有根式的加减）.倒代换（ $x\rightarrow \infty$ ).提最高次幂.关键在于有分母时通分，无分母时倒带换。都可以转换为 $\frac{0}{0}$ $\frac{\infty }{\infty }$ ，提最高次幂转换为 $0\cdot \infty$ .

$\lim \left ( \frac{1}{sin^{^{2}}x}-\frac{cos^{2}x}{x^{2}} \right ) x\rightarrow 0$

= $\lim \frac{x^2-sin^2xcos^2x}{x^2sin^2x}$ = $\lim \frac{x-\frac{1}{4}sin4x}{2x^3}$ = $\lim \frac{1-cos4x}{6x^2}$ = $\frac{4}{3}$

(5) $0\cdot \infty$ 特殊的一类未定型

转换为 $\frac{0}{0}$ $\frac{\infty }{\infty }$ ，将0除作分母。

$\lim x\ln x (x\rightarrow 0^+)$

= $\lim \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$ =lim(-x)=0

(6)三类未定型 $1^{\infty }$ $0^0$ $\infty ^{0}$

(7)左右分解求极限

$x\rightarrow 0^+$ $x\rightarrow 0^{-}$ 含有 $e^{\frac{1}{x}} \left | x \right | arctan\frac{1}{x}$ [x]取整函数，这些函数在零点左右极限不一致，应该先求出左右极限，再判断极限是否存在。

(8)夹逼定理（不常见）

函数难以直接求极限，但可找到两个函数夹逼，找到两个函数，使其极限相同且夹住原函数。

（9）积分转换法

极限表达式可转化为积分形式，利用定积分的定义或性质求极限。

（10）数级法

极限表达式可转化为级数形式，利用级数的收敛性求极限。

总结对比：

方法	使用条件	优点	缺点
直接代入	函数在极限点连续	计算简单	适用于连续函数
因式分解	分式函数，分子分母在极限处为零	消除不定式	因式分解技巧
有理化	含有根式	消除根式	计算复杂
无穷小代换	含有无穷量	简化计算	记忆常见无穷小和适用条件
洛必达法则	$\frac{0}{0}$ $\frac{\infty }{\infty }$	适用性强	求导有可能较复杂
泰勒公式	函数可展开	计算精度高	计算复杂
夹逼定理	左右夹逼函数极限相同	适用于复杂函数	夹逼函数过于复杂
积分法	极限表达式可转化为积分	/	/
数级法	极限表达式可转化为数级	/	/
单调有界法	函数单调有界	利于证明极限存在	仅适用于数列

标签：泰勒,洛必达,函数,无穷小,极限,公式,高等数学
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一.基本概念

1.无穷小

2.无穷小的性质

3.高阶无穷小的运算法则

4.常见函数的极限

二.极限的常见求法

1.直接代入法和两个重要极限

2. $\frac{0}{0}$ （洛必达，等价无穷小，泰勒展开，中值定理）

（1）洛必达（对于易求导的分式，求导直到能够带入为止）

（2）等价无穷小

(3)泰勒公式

(4) $\infty -\infty$ 特殊的未定型。

(5) $0\cdot \infty$ 特殊的一类未定型

(6)三类未定型 $1^{\infty }$ $0^0$ $\infty ^{0}$

(7)左右分解求极限

(8)夹逼定理（不常见）

（9）积分转换法

（10）数级法

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二.极限的常见求法

1.直接代入法和两个重要极限

2.（洛必达，等价无穷小，泰勒展开，中值定理）

（1）洛必达（对于易求导的分式，求导直到能够带入为止）

（2）等价无穷小

(3)泰勒公式

(4)特殊的未定型。

(5)特殊的一类未定型

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