无监督学习——降维问题：主成分分析（PCA）详解

标签：方差 投影 降维 详解 成分 PCA 数据

降维问题：主成分分析（PCA）详解

文章目录

• 降维问题：主成分分析（PCA）详解
• • 一、引言
  • 二、PCA 算法原理
  • • 2.1 基本思想
    • 2.2 数学推导
    • 2.3 方差解释率
  • 三、PCA 的应用场景
  • • 3.1 数据可视化
    • 3.2 特征提取
    • 3.3 数据压缩
  • 四、PCA 案例及代码实现
  • • 4.1 案例描述
    • 4.2 代码实现
    • 4.3 代码解释
  • 五、PCA 的优缺点
  • • 5.1 优点
    • 5.2 缺点
  • 六、总结

一、引言

在机器学习和数据分析领域，我们常常会遇到高维数据。高维数据虽然包含了丰富的信息，但也带来了诸多问题，如计算复杂度增加、数据稀疏性、过拟合风险提高等。降维技术应运而生，它能够在尽可能保留数据重要信息的前提下，减少数据的维度。主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的无监督降维方法，被广泛应用于数据可视化、特征提取、数据压缩等方面。本文将详细介绍 PCA 的原理、应用场景，并通过具体案例和代码展示其使用方法。

二、PCA 算法原理

2.1 基本思想

PCA 的核心思想是找到数据的主成分，这些主成分是数据方差最大的方向。通过将数据投影到这些主成分上，我们可以在减少数据维度的同时，尽可能保留数据的信息。具体来说，PCA 会寻找一组正交的方向（主成分），使得数据在这些方向上的投影方差最大。第一个主成分是数据方差最大的方向，第二个主成分是与第一个主成分正交且方差次大的方向，以此类推。

2.2 数学推导

假设我们有一个 n n n 维的数据集 X = [ x 1 , x 2 , ⋯   , x m ] T X = [x_1, x_2, \cdots, x_m]^T X=[x1​,x2​,⋯,xm​]T，其中 x i x_i xi​ 是一个 n n n 维向量， m m m 是样本数量。PCA 的目标是找到一个 n × k n\times k n×k 的投影矩阵 W W W，将 X X X 投影到 k k k 维空间（ k < n k < n k<n），得到降维后的数据 Y = X W Y = XW Y=XW。

为了找到最优的投影矩阵 W W W，我们需要最大化投影后数据的方差。设投影后的样本为 y i = W T x i y_i = W^T x_i yi​=WTxi​，投影后数据的协方差矩阵为 S y = 1 m − 1 ∑ i = 1 m ( y i − y ˉ ) ( y i − y ˉ ) T S_y = \frac{1}{m - 1} \sum_{i = 1}^{m} (y_i - \bar{y})(y_i - \bar{y})^T Sy​=m−1

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